Question

12．定义R上的减函数f（x），其导函数f'（x）满足$\frac{f（x）}{f'（x）}＜1-x$，则下列结论正确的是（　　）

• A． 当且仅当x∈（-∞，1），f（x）＜0
• B． 当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0
• C． 对于?x∈R，f（x）＜0
• D． 对于?x∈R，f（x）＞0

Answer 1

分析 f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，（f′（x）≠0）．则$\frac{f（x）}{f'（x）}＜1-x$，化为f（x）+f′（x）x＞f′（x），可得[（x-1）f（x）]′＞0，因此函数y=（x-1）f（x）在R上单调递增，对x分类讨论即可得出．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，（f′（x）≠0）．
∴$\frac{f（x）}{f'（x）}＜1-x$，化为f（x）+f′（x）x＞f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x-1）＞0，
∴[（x-1）f（x）]′＞0，
∴函数y=（x-1）f（x）在R上单调递增，
而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，
当x∈（1，+∞）时，x-1＞0，故f（x）＞0，
又f（x）是定义在R上的减函数，
∴x≤1时，f（x）＞0也成立，
∴f（x）＞0对任意x∈R成立．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．