Question

20．已知函数f（x）=x$（{{e^x}-\frac{1}{e^x}}）$，若f（x₁）＜f（x₂），则（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁＜x₂
• C． ${x}_{1}^{2}$＜${x}_{2}^{2}$
• D． x₁+x₂=0

Answer 1

分析 先容易判断出f（x）在R上是偶函数，所以通过求导可以判断该函数在[0，+∞）上单调递增，所以由f（x₁）＜f（x₂）得到f（|x₁|）＜f（|x₂|），所以由单调性即可得到|x₁|＜|x₂|，所以x12＜x22．

解答 解：∵已知函数f（x）=x$（{{e^x}-\frac{1}{e^x}}）$，f（-x）=（-x）•（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）=f（x），
∴f（x）在R上为偶函数．
∵f′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x（e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$），
当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
故f（x）在（-∞，0）上单调递减．
∴f（x₁）＜f（x₂），等价于|x₁|＜|x₂|，等价于${{x}_{1}}^{2}$＜${{x}_{2}}^{2}$，
故选：C．

点评 考查偶函数的定义及判断过程，函数导数符号和函数单调性的关系，以及偶函数定义的运用：对于偶函数f（x），f（x₁）＜f（x₂）和f（|x_1|）＜f（|x_2|）等价．