Question

4．椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一点P到两焦点的距离之积取最大值时，P点的坐标是（0，3）或（0，-3）．

Answer 1

分析 根据椭圆的方程，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，结合基本不等式可知：当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，点P到两焦点的距离之积为m有最大值25，并且此时点P位于椭圆短轴的顶点处，可得点P坐标为（0，3）或（0，-3）．

解答 解：∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，∴a=5，b=3，
设椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∵|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
∴点P到两焦点的距离之积m满足：m=|PF₁|×|PF₂|≤（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=25，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，m有最大值25．
此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P（0，3）或（0，-3）．
故答案为：（0，3）或（0，-3）．

点评 本题给出椭圆的方程，求其上一点到两个焦点距离之积的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．