Question

17．将二项式${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^6}$展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（　　）

• A． $\frac{2}{7}$
• B． $\frac{1}{35}$
• C． $\frac{8}{35}$
• D． $\frac{7}{24}$

Answer 1

分析 首先由二项式定理求出有理项和无理项的项数，然后利用插空法求出排列数，利用古典概型的公式求概率即可．

解答 解：二项式${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^6}$展开式通项为：${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}={2}^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-\frac{3}{2}r}$，知当r=0，2，4，6时为有理项，则二项式${（x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^6}$展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为${A}_{7}^{7}$，无理项互为相邻有${A}_{4}^{4}{A}_{5}^{3}$，所以所求概率P=$\frac{{A}_{4}^{4}{A}_{5}^{3}}{{A}_{7}^{7}}=\frac{2}{7}$，
故选：A．

点评 本题考查了二项式定理以及插空法求排列数、古典概型的概率求法；属于中档题．