Question

6．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）是函数y=x³的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x₁+x₂+x₃=0．

Answer 1

分析 k_AB=$\frac{{x}_{2}^{3}-{x}_{1}^{3}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，k_AC=$\frac{{x}_{3}^{3}-{x}_{1}^{3}}{{x}_{3}-{x}_{1}}$．由A，B，C三点共线，可得k_AB=k_AC．化简整理即可得出．

解答 证明：k_AB=$\frac{{x}_{2}^{3}-{x}_{1}^{3}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，k_AC=$\frac{{x}_{3}^{3}-{x}_{1}^{3}}{{x}_{3}-{x}_{1}}$．
∵A，B，C三点共线，∴k_AB=k_AC．
∴$\frac{{x}_{2}^{3}-{x}_{1}^{3}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{3}^{3}-{x}_{1}^{3}}{{x}_{3}-{x}_{1}}$．
∴${x}_{2}^{2}$+x₁x₂+${x}_{1}^{2}$=${x}_{3}^{2}$+x₁x₃+${x}_{1}^{2}$，
∴（x₂-x₃）（x₁+x₂+x₃）=0，∵x₂≠x₃．
∴x₁+x₂+x₃=0．

点评 本题考查了直线共线与斜率的关系、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．