Question

10．已知定义在R上的函数y=f（x）满足函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（-∞，0），f（x）+xf'（x）＜0成立（f'（x）是函数f（x）的导数），若$a=\frac{1}{2}f（{{{log}_2}\sqrt{2}}），b=（{ln2}）f（{ln2}），c=2f（{{{log}_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4}}）$，则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． c＞a＞b
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 由导数性质推导出当x∈（-∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果．

解答 解∵函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴y=f（x）关于y轴对称，
∴函数g（x）=xf（x）为奇函数．
∵g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x），
∴当x∈（-∞，0）时，g′（x）=[xf（x）]'=f（x）+xf'（x）＜0，
函数g（x）=xf（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，函数g（x）=xf（x）单调递减，
a=g（$\frac{1}{2}$），b=g（ln2），c=g（2），
而$\frac{1}{2}$＜ln2＜2，
故a＞b＞c，
故选：A．

点评 本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合理运用，属于中档题．