Question

19．点P到直线y=-3的距离比到点F（0，1）的距离大2
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程
（Ⅱ）设点A（-4，4），过点B（4，5）的直线l交轨迹C于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，求|k₁-k₂|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的定义，得出轨迹方程；
（Ⅱ）联立直线MN方程与C的轨迹方程，得出M，N的坐标关系，代入斜率公式化简|k₁-k₂|，利用二次函数的性质求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵点P到直线y=-3的距离比到点F（0，1）的距离大2，
∴点P到直线y=-1的距离等于到点F（0，1）的距离，
∴点P的轨迹是以点F（0，1）为焦点的抛物线，方程为x²=4y．
（Ⅱ）设过点B的直线方程为y=k（x-4）+5，M（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），N（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）．
联立抛物线，得x²-4kx+16x-20=0，
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=16k-20，
∵k₁=$\frac{{x}_{1}-4}{4}$，k₂=$\frac{{x}_{2}-4}{4}$．
∴|k₁-k₂|=$\frac{1}{4}$|x₁-x₂|=$\sqrt{{k}^{2}-4k+5}$=$\sqrt{（k-2）^{2}+1}$≥1．
∴当k=2时，|k₁-k₂|取得最小值1．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，属于中档题．