Question

9．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 17π
• B． 16π
• C． 8π
• D． 20π

Answer 1

分析 做出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，利用坐标求出外接球的球心，从而可得外接球的半径，故而可求得外接球的面积．

解答 解：由三视图可知几何体为三棱锥A-BCD，直观图如图所示：

其中AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=BD=2，AB=3，
以B为原点，以BD，BC，BA为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz，
则A（0，0，3），B（0，0，0），C（0，2，0），D（2，0，0），
设三棱锥A-BCD的外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD，
∴x²+y²+（z-3）²=x²+y²+z²=x²+（y-2）²+z²=（x-2）²+y²+z²，
解得x=1，y=1，z=$\frac{3}{2}$．
∴外接球的半径r=MA=$\sqrt{1+1+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．
∴外接球的表面积S=4πr²=4π×$\frac{17}{4}$=17π．
故选：A．

点评 本题考查了常见几何体的三视图，球与棱锥的位置关系，属于中档题．