Question

19．已知点A（2，3），点B（6，-3），点P在直线3x-4y+3=0上，若满足等式$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$+2λ=0的点P有两个，则实数λ的取值范围是（-∞，2）．

Answer 1

分析 根据点P在直线3x-4y+3=0上，设P（x，$\frac{3x+3}{4}$），求出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$，计算$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$，代入$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$+2λ=0，化简并利用△＞0求出λ的取值范围．

解答 解：由点P在直线3x-4y+3=0上，设P（x，$\frac{3x+3}{4}$），
则$\overrightarrow{AP}$=（x-2，$\frac{3x+3}{4}$-3），$\overrightarrow{BP}$=（x-6，$\frac{3x+3}{4}$+3），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（x-2）（x-6）+${（\frac{3x+3}{4}）}^{2}$-9=$\frac{1}{16}$（25x²-110x+57）；
又$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$+2λ=0，
∴$\frac{1}{16}$（25x²-110x+57）+2λ=0，
化简得25x²-110x+57+32λ=0，
根据题意△=（-110）²-4×25×（57+32λ）＞0，
解得λ＜2；
∴实数λ的取值范围是（-∞，2）．
故答案为：（-∞，2）．

点评 本题考查了平面向量的数量积与判别式的应用问题，是基础题．