Question

11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=$\frac{lnx}{x}$，且f（e）=$\frac{1}{2e}$
（Ⅰ）求f（x）的表达式
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e²]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）得到（x²f（x））′=lnx，设x²f（x）=xlnx-x+c，根据f（e）=$\frac{1}{2e}$，求出c的值，从而求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由xf′（x）+2f（x）=$\frac{lnx}{x}$⇒x²f′（x）+2xf（x）=lnx⇒（x²f（x））′=lnx，
设x²f（x）=xlnx-x+c，
∵f（e）=$\frac{1}{2e}$，故c=$\frac{e}{2}$，
∴x²f（x）=xlnx-x+$\frac{e}{2}$，
∴f（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{1}{x}$+$\frac{e}{{2x}^{2}}$（x＞0）；                      
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2x-xlnx-e}{{x}^{3}}$，
令h（x）=2x-xlnx-e，则h′（x）=1-lnx，
故h（x）在（0，e）递增，（e，+∞）递减，
而h（e）=0，故h（x）≤0，即f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）为减，f（x）在[1，e²]递减，
故f（x）_max=f（1）=$\frac{e}{2}$-1，f（x）_min=f（e²）=$\frac{2e+1}{{2e}^{3}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．