Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（lnx）^{2}+alnx+b，x＞0}\\{{e}^{x}+\frac{1}{4}，x≤0}\end{array}\right.$，且f（e）=f（1），f（e²）=f（0）+$\frac{11}{4}$，则函数f（x）的值域为（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]∪（$\frac{7}{4}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{4}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{5}{4}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]∪[$\frac{7}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 利用已知条件列出方程求出a，b，然后利用分段函数分别求解函数的值域即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（lnx）^{2}+alnx+b，x＞0}\\{{e}^{x}+\frac{1}{4}，x≤0}\end{array}\right.$，且f（e）=f（1），f（e²）=f（0）+$\frac{11}{4}$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=b}\\{4+2a+b=4}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=2，
所以当x＞0时，f（x）=（lnx）²-lnx+2=（lnx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$$≥\frac{7}{4}$，
当x≤0时，可得$\frac{1}{4}＜{e}^{x}+\frac{1}{4}≤{e}^{0}+\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
则函数f（x）的值域为（$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{4}$]∪[$\frac{7}{4}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查分段函数的应用，函数的值域的求法，考查转化思想以及计算能力．