Question

15．在平面直角坐标系xOy中曲线${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$经伸缩变换$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=2x}\\{{y^2}=y}\end{array}}\right.$后得到曲线C₂，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₃的极坐标方程为$ρ=\frac{-8}{ρ-6sinθ}$．
（1）求曲线C₂的参数方程和C₃的直角坐标方程；
（2）设M为曲线C₂上的一点，又M向曲线C₃引切线，切点为N，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}x}\\{{y^2}=y}\end{array}}\right.$代入C₁得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用平方关系可得C₂的参数方程．由$r=\frac{8}{r-6sinq}$得r²-6rsinq=8，利用互化公式可得C₃的直角坐标方程．
（2）C₃表示以C₃（0，3）为圆心，以1为半径的圆，$|MN|=\sqrt{|{C_3}M{|^2}-1}$．设M（2cosφ，sinφ），利用两点之间的距离公式与三角函数的单调性可得，|MC₃|_max．

解答 解：（1）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}x}\\{{y^2}=y}\end{array}}\right.$代入C₁得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，所以C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}\right.$（φ为参数）．
由$r=\frac{8}{r-6sinq}$得r²-6rsinq=8，∴C₃的直角坐标方程为x²+（y-3）²=1．
（2）C₃表示以C₃（0，3）为圆心，以1为半径的圆，$|MN|=\sqrt{|{C_3}M{|^2}-1}$．
设M（2cosφ，sinφ），
则$|M{C_3}|=\sqrt{{{（2cosj）}^2}+{{（sinj-3）}^2}}$=$\sqrt{4{{cos}^2}φ+{{sin}^2}φ-6sinφ+9}$=$\sqrt{-3{{sin}^2}φ-6sinφ+13}$=$\sqrt{-3{{（sinφ+1）}^2}+16}$．
∵-1≤sinφ≤1，∴|MC₃|_max=4．
根据题意可得$|MN{|_{max}}=\sqrt{{4^2}-1}=\sqrt{15}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．