Question

1．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁+a₃=30，S₄=120，设b₁=1，b_n=1+log₃a_n，则数列{b_n}的通项公式为b_n=n+1．

Answer 1

分析 根据等比数列的通项公式化简已知的两条件a₁+a₃=30和S₄=120，得到关于首项和公比的方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比，根据求出的首项和公比写出等比数列{a_n}的通项公式，把写出的通项公式代入到b_n=1+log₃a_n中，利用对数的运算法则计算后，得到b_n的通项公式．

解答 解：设等比数列的公比为q，由a₁+a₃=30，S₄=120，
得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+{q}^{2}）=30①}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}=120②}\end{array}\right.$，
由②得：$\frac{{a}_{1}（1+{q}^{2}）（1-q）（1+q）}{1-q}$=a₁（1+q²）（1+q）=120③，
把①代入③得：1+q=4，解得q=3，把q=3代入①得到a₁=3，
则等比数列{a_n}的通项公式为：a_n=3ⁿ，
将通项公式代入b_n=1+log₃a_n中，得b_n=n+1，
故答案是：b_n=n+1．

点评 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算法则，是一道中档题．