Question

11．脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要．现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i个农户的年收入x_i（万元），年积蓄y_i（万元），经过数据处理得$\sum_{i=1}^{100}{x_i}=500，\sum_{i=1}^{100}{y_i}=100，\sum_{i=1}^{100}{{x_i}{y_i}=1000，}\sum_{i=1}^{100}{x_i^2}=3750$．
（Ⅰ）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；
（Ⅱ）若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？
附：在$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}^{2}-{n\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，其中$\overline x，\overline y$为样本平均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求出回归系数，即可求线性回归方程；
（Ⅱ）令$\hat y=0.4x-1≥5$得x≥15即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$n=100，\overline x=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}{x_i}=\frac{500}{100}=5，\overline y=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}{y_i}=\frac{100}{100}=1$，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^{100}{{x_i}{y_i}}-100\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^{100}{x_i^2}-100{{\overline x}^2}}}=\frac{1000-100×5×1}{{3750-100×{5^2}}}=\frac{500}{1250}=0.4，\hat a=\overline y-\hat b\overline x=1-0.4×5=-1$，
所以线性回归方程为$\hat y=0.4x-1$；
（Ⅱ）令$\hat y=0.4x-1≥5$得x≥15，
由此可预测该农户的年收入最低为15万元．

点评 本题考查回归方程及其应用，考查学生的计算能力，属于中档题．