Question

18．如图所示，在三棱锥S-ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC的中点，求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1），可得＜$\overrightarrow{MO}$，$\overrightarrow{MA}$＞为二面角A-SC-B的平面角．利用向量求解．

解答 解：以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
设B（1，0，0），则C（-1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1），SC的中点M（-$\frac{1}{2}$．0，$\frac{1}{2}$），
故$\overrightarrow{MO}$=（-$\frac{1}{2}$．0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{MA}$=（$\frac{1}{2}$，1，-$\frac{1}{2}$）$\overrightarrow{SC}$=（-1，0，-1），
所以$\overrightarrow{MO}$•$\overrightarrow{SC}$=0，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{SC}$=0．
即MO⊥SC，MA⊥SC．
故＜$\overrightarrow{MO}$，$\overrightarrow{MA}$＞为二面角A-SC-B的平面角．
cos＜$\overrightarrow{MO}$，$\overrightarrow{MA}$＞=$\frac{\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{MA}}{|\overrightarrow{MO}||\overrightarrow{MA}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即二面角A-SC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了向量法求二面角，属于中档题．