Question

17．某几何体的三视图如图．若该几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的体积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{61}}{6}$π
• B． $\frac{\sqrt{61}}{24}$π
• C． $\frac{61\sqrt{61}}{2}$π
• D． $\frac{61\sqrt{61}}{6}$π

Answer 1

分析 由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥．其中PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC．设点E为AB的中点，经过点E作OE⊥平面ABC，设点O为三棱锥外接球的球心，作OF⊥AP，垂足为点F．根据OE²+BE²=OF²+PF²，解得OE即可得出．

解答 解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥．其中PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAC．
设点E为AB的中点，经过点E作OE⊥平面ABC，设点O为三棱锥外接球的球心，
作OF⊥AP，垂足为点F．
则OE²+BE²=OF²+PF²，设OE=x，
则2.5²+x²=2.5²+（6-x）²，解得x=3．
∴外接球的半径r=$\sqrt{2．{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$．
∴外接球的体积V=$\frac{4π}{3}×（\frac{\sqrt{61}}{2}）^{3}$=$\frac{61\sqrt{61}π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了三棱锥的三视图、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．