Question

5．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，AB=2，PC=$\sqrt{6}$，AB的中点为E
（1）证明：PE⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥D-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）由题可知PE⊥AB，CE⊥AB．求解三角形可得PE=CE=$\sqrt{3}$．结合PC=$\sqrt{6}$，得PE²+EC²=PC²，可得PE⊥CE．再由线面垂直的判定可得PE⊥平面ABCD；
（2）由正弦定理求出S_△BCD．然后利用等积法求得三棱锥D-PBC的体积．

解答 证明：（1）由题可知PE⊥AB，CE⊥AB．
∵AB=2，∴PE=CE=$\sqrt{3}$．
又∵PC=$\sqrt{6}$，∴PE²+EC²=PC²，
∴∠PEC=90°，即PE⊥CE．
又∵AB，CE?平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD；
解：（2）S_△BCD=$\frac{1}{2}$×2²×sin120°=$\sqrt{3}$，PE=$\sqrt{3}$．
由（1）知：PE⊥平面ABCD，
V_P-BCD=$\frac{1}{3}$•S_△BCD•PE=1．
∵V_D-PBC=V_P-BCD，
∴三棱锥D-PBC的体积为1．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．