Question

2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． 136π
• B． 144π
• C． 36π
• D． 34π

Answer 1

分析 作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积．

解答 解：由三视图可知几何体为四棱锥E-ABCD，直观图如图所示：

其中，BE⊥平面ABCD，BE=4，AB⊥AD，AB=$\sqrt{2}$，
C到AB的距离为2，C到AD的距离为2$\sqrt{2}$，
以A为原点，以AB，AD，及平面ABCD过A的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（2，2$\sqrt{2}$，0），D（4，0，0），E（0，$\sqrt{2}$，4）．
设外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD=ME，
∴x²+y²+z²=x²+（y-$\sqrt{2}$）²+z²=（x-2）²+（y-2$\sqrt{2}$）²+z²=（x-4）²+y²+z²=x²+（y-$\sqrt{2}$）²+（z-4）²，
解得x=2，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，z=2．
∴外接球的半径r=MA=$\sqrt{4+\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{\frac{17}{2}}$，
∴外接球的表面积S=4πr²=34π．
故选：D．

点评 本题考查了棱锥的三视图，球与棱锥的位置关系，属于中档题．