Question

7．已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为$\frac{2π}{3}$的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 20π
• B． 16π
• C． 8π
• D． 17π

Answer 1

分析 作出几何体的三视图，建立空间坐标系，求出外接球的球心，从而得出半径，再计算面积．

解答 解：作出几何体的直观图如图所示：

由三视图可知底面ACD是等腰三角形，∠ACD=$\frac{2π}{3}$，AD=2$\sqrt{3}$，
BC⊥平面ACD，BC=2，
取AD的中点E，连接CE，则CE⊥AD，
以E为原点，以AD为x轴，以EC为y轴，以平面ACD的垂线为z轴建立空间直角坐标系E-xyz，
则A（-$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，2），C（0，1，0），D（$\sqrt{3}$，0，0），
设三棱锥的外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD．
∴（x+$\sqrt{3}$）²+y²+z²=x²+（y-1）²+（z-2）²=x²+（y-1）²+z²=（x-$\sqrt{3}$）²+y²+z²，
解得x=0，y=-1，z=1．
∴外接圆的半径r=MA=$\sqrt{3+1+1}$=$\sqrt{5}$．
∴外接球的表面积S=4πr²=20π．
故选：A．

点评 本题考查了棱锥的三视图，球与棱锥的位置关系，属于中档题．