Question

19．已知{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）由x²-5x+6=0，解得x=2，3．又{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．可得a₂=2，a₄=3．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）由x²-5x+6=0，解得x=2，3．
又{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．
∴a₂=2，a₄=3．
∴a₁+d=2，a₁+3d=3，
解得a₁=$\frac{3}{2}$，d=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+2}{2}$．
（II）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$．
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$．
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+2}{{2}^{n+2}}$=1-$\frac{n+4}{{2}^{n+2}}$．
∴S_n=2-$\frac{n+4}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查了错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．