Question

9．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{n-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+m}}$是奇函数．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）当$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$时，f（kx²）+f（2x-1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性求出m，n的值即可；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义判断出函数f（x）递减，问题等价于$k＜\frac{1-2x}{x^2}$恒成立，设$g（x）=\frac{1-2x}{x^2}={（{\frac{1}{x}}）^2}-2•\frac{1}{x}$，令$t=\frac{1}{x}，t∈[{\frac{1}{3}，2}]$，根据二次函数的性质求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）在定义域为R是奇函数，所以f（0）=0，∴n=1．
又由f（-1）=-f（1），∴m=2，检验知，当m=2，n=1时，原函数是奇函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+2}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$，任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{{2^{x_1}}-{2^{x{\;}_2}}}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$，因为函数y=2^x在R上是增函数，
且x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，又$（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）＞0$，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），∴函数f（x）在R上是减函数．
因f（x）是奇函数，从而不等式f（kx²）+f（2x-1）＞0等价于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x），
因f（x）在R上是减函数，由上式推得kx²＜1-2x，即对一切$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$，
有：$k＜\frac{1-2x}{x^2}$恒成立，设$g（x）=\frac{1-2x}{x^2}={（{\frac{1}{x}}）^2}-2•\frac{1}{x}$，令$t=\frac{1}{x}，t∈[{\frac{1}{3}，2}]$，
则有$g（t）={t^2}-2t，t∈[{\frac{1}{3}，2}]$，∴g（x）_min=g（t）_min=g（1）=-1，
∴k＜-1，即k的取值范围为（-∞，-1）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性问题，是一道中档题．