Question

20．三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，$AB=4\sqrt{2}$，BC=3．点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）求二面角P-AD-C的大小；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是长方形，知BC∥AD，由此能证明BC∥平面PDA．
（2）推导出AD⊥DC，AD⊥平面PCD，从而AD⊥DC，AD⊥PD，进而∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角，由此能求出二面角P-AD-C的大小．
（3）连接AC，推导出AC∥FG，从而∠PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角，由此能求出直线PA与直线FG所成角的余弦值．

解答 证明：（1）因为四边形 A BCD是长方形，
所以 BC∥AD，
因为 BC?平面 PD A，AD?平面 PD A，
所以 BC∥平面 PD A
解：（2）∵△ABCD是矩形，∴AD⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，
且平面PDC∩平面ABCD=CD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PCD，又CD、PD?平面PDC，
∴AD⊥DC，AD⊥PD，∴∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角，
在Rt△PDE中，PD=4，$DE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}，PE=\sqrt{P{D^2}-D{E^2}}=2\sqrt{2}$．
∴$tan∠PDC=\frac{PE}{DE}=1$，
即二面角P-AD-C的大小为45°．
（3）如下图所示，连接AC，∵AF=2FB，CG=2GB，
即$\frac{AF}{FB}=\frac{CG}{GB}=2$，∴AC∥FG，
∴∠PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角，
在△PAC中，PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=5，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴PA²+PC²=AC²，
∴PA²+PC²=AC²，
∴cos∠PAC=$\frac{PA}{AC}=\frac{5}{\sqrt{41}}$=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$，
∴直线PA与直线FG所成角的余弦值为$\frac{{5\sqrt{41}}}{41}$．

点评 本题考查线面关系、二面角求法，线面角余弦值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．