Question

4．具有性质：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数：
①y=ln$\frac{1-x}{1+x}$；②y=$\frac{{1-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$；③y=$\left\{{\begin{array}{l}{x，0＜x＜1}\\{0，x=1}\\{-\frac{1}{x}，x＞1}\end{array}}$
其中满足“倒负”变换的函数是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①

Answer 1

分析 利用题中的新定义，对各个函数进行判断是否具有f（$\frac{1}{x}$）=-f（x），判断出是否满足“倒负”变换，即可得答案．

解答 解：①f（$\frac{1}{x}$）=ln$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=ln$\frac{x-1}{x+1}$≠-f（x），
不满足“倒负”变换的函数；
②f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1{-（\frac{1}{x}）}^{2}}{1{+（\frac{1}{x}）}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=-$\frac{1{-x}^{2}}{1{+x}^{2}}$=-f（x），
满足“倒负”变换的函数；
对于③，当0＜x＜1时，$\frac{1}{x}$＞1，f（x）=x，f（$\frac{1}{x}$）=-x=-f（x）；
当x＞1时，0＜$\frac{1}{x}$＜1，f（x）=-$\frac{1}{x}$，f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）；
当x=1时，$\frac{1}{x}$=1，f（x）=0，f（$\frac{1}{x}$）=f（1）=0=-f（x），
满足“倒负”变换的函数；
综上：②③是符合要求的函数；
故选：C．

点评 本题考查理解题中的新定义，并利用定义解题；新定义题是近几年常考的题型，解答此类问题的关键是灵活利用题目中的定义．