Question

18．设函数f（x）=sin（2x+φ）+1（-π＜φ＜0）过点$（\frac{π}{8}，0）$．
（1）求函数y=f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域；
（2）令$g（x）=f（x+\frac{π}{8}）$，画出函数y=g（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （1）将点代入，根据特殊角的三角函数值求出φ的值，并根据正弦函数的性质求出f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的值域，
（2）根据函数的平移可得g（x）的解析式，描点画图即可．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+φ）+1（-π＜φ＜0）过点$（\frac{π}{8}，0）$
∴$sin（2×\frac{π}{8}+φ）+1=0$，
∴$sin（\frac{π}{4}+φ）=-1$，
∴$\frac{π}{4}+φ=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$
∵-π＜φ＜0，
∴$φ=-\frac{3π}{4}$，
∴$f（x）=sin（2x-\frac{3π}{4}）+1$
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{3π}{4}≤2x-\frac{3π}{4}≤\frac{π}{4}$，
∴$-1≤sin（2x-\frac{3π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴0≤sin（2x-$\frac{3π}{4}$）+1≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$y=f（x），x∈[{0，\frac{π}{2}}]$的值域为$[{0，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
（2）$g（x）=f（x+\frac{π}{8}）$=sin[2（x+$\frac{π}{8}$）-$\frac{3π}{4}$]+1=sin（2x-$\frac{π}{2}$）+1=-cos2x+1，
y=g（x）在区间[0，π]上的图象如右图

点评 本题考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．