Question

2．袋中装有大小相同的3个白球和4个黑球，现从袋中任取3个球，设ξ为所取出的3个球中白球数与黑球数之差的绝对值．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）记“函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）变量ξ的可能取值是1，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式，分别求出相应变量值的概率，最后可做出分布列表格；利用期望公式，可求X的数学期望值；
（2）记“函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，找到事件A对应的ξ然后求概率．

解答 解：（1）ξ的可能取值为1，3．
∵P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}+{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{6}{7}$；
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}+{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{1}{7}$；
∴ξ的分布列为：

ξ	1	3
p	$\frac{6}{7}$	$\frac{1}{7}$

Eξ=1×$\frac{6}{7}$+3×$\frac{1}{7}$=$\frac{9}{7}$．
（2）记“函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，则A对应的f'（x）=2x-3ξ≥0在[2，+∞）恒成立，即ξ≤$\frac{4}{3}$，即ξ=1为事件A，其概率为$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，在解题的过程中，注意变量对应的事件，结合事件和等可能事件的概率公式来求解．