Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：${a_1}=1，{a_2}=2，{S_n}+1={a_{n+2}}-{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，若不等式λS_n＞a_n恒成立，则实数λ的取值范围是λ＞1．

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式转化求解数列是等比数列，然后求解前n项和，以及通项公式公式，然后求出实数λ的取值范围．

解答 解：因${a_1}=1，{a_2}=2，{S_n}+1={a_{n+2}}-{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$，
故a₃=4，a₄=8，
又S_n+1+1=a_n+3-a_n+2，
将以上两式两边相减可得a_n+3=2a_n+2，则由等比数列的定义可得公比q=2，
所以a_n=2^n-1，S_n=$\frac{1（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
则不等式λS_n＞a_n可化为λ＞$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}-1}$（n≥1），而$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}-1}$≤1，
则λ＞1．
故答案为：λ＞1．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列与不等式的关系，考查计算能力．