Question

8．若（x+$\frac{1}{3x}$）ⁿ的展开式中前三项的系数分别为A、B、C，且满足4A=9（C-B），则展开式中x²的系数为$\frac{56}{27}$．

Answer 1

分析 分别求出前三项的系数，在再根据4A=9（C-B）求出n，再令8-2r=2，即可求出展开式中x²的系数．

解答 解：（x+$\frac{1}{3x}$）ⁿ的展开式的通项为T_r+1=（$\frac{1}{3}$）^rC_n^rx^n-2r，
∴A=（$\frac{1}{3}$）⁰C_n⁰=1，B=（$\frac{1}{3}$）¹C_n¹=$\frac{n}{3}$，C=（$\frac{1}{3}$）²C_n²=$\frac{n（n-1）}{18}$，
∵4A=9（C-B），
∴4=9（$\frac{n（n-1）}{18}$-$\frac{n}{3}$），
解得n=8，
∴（x+$\frac{1}{3x}$）⁸的展开式的通项为T_r+1=（$\frac{1}{3}$）^rC₈^rx^8-2r，
令8-2r=2，
解得r=3，
∴展开式中x²的系数为（$\frac{1}{3}$）³C₈³=$\frac{56}{27}$，
故答案为：$\frac{56}{27}$．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．