Question

6．设单调函数y=p（x）的定义域为D，值域为A，如果单调函数y=q（x）使得函数y=p（q（x））的置于也是A，则称函数y=q（x）是函数y=p（x）的一个“保值域函数”．已知定义域为[a，b]的函数$h（x）=\frac{2}{|x-3|}$，函数f（x）与g（x）互为反函数，且h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”，则b-a=1．

Answer 1

分析 由定义可知y=q（x）的值域为y=p（x）的定义域，根据h（x）单调性得出a，b的范围，求出h（x）的值域，从而得出f（x）的定义域和g（x）的值域，再根据反函数的性质列方程即可解出a，b．

解答 解：由“保值域函数”的定义可知y=q（x）的值域为y=p（x）的定义域，
∵h（x）是定义在[a，b]上的单调函数，∴a＞3或b＜3．
（1）若a＞3，则h（x）单调递减，∴h（x）的值域为[$\frac{2}{b-3}$，$\frac{2}{a-3}$]，
∵h（x）是f（x）的一个“保值域函数”，g（x）是h（x）的一个“保值域函数”，
∴f（x）的定义域为[$\frac{2}{b-3}$，$\frac{2}{a-3}$]，g（x）的值域为[a，b]，
∵函数f（x）与g（x）互为反函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{b-3}=a}\\{\frac{2}{a-3}=b}\end{array}\right.$，整理得a=b，与b＞a矛盾（舍）．
（2）若b＜3，则h（x）单调递增，∴h（x）的值域为[$\frac{2}{3-a}$，$\frac{2}{3-b}$]，
同（1）可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3-a}=a}\\{\frac{2}{3-b}=b}\end{array}\right.$，解得a=1，b=2．
∴b-a=1．
故答案为1．

点评 本题考查了对新定义的理解，函数定义域与值域的计算，属于中档题．