Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0 ， y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1 ， k2
（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；
（2）若r= ，①求证：k1k2=﹣ ；②求OPOQ的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆C的右焦点是（ ，0），x= ，代入 +y2=1，可得y=± ，

∴圆M的方程：（x﹣ ）2+（y ）2= ；

（2）解：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，

所以直线OP：y=k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣ =0

同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣ =0，

由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣ ）k2﹣2x0y0k+y02﹣ =0的两个不相等的实数根，

∴k1k2= ，

因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2=1﹣ ，

所以k1k2= =﹣ ；

（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

因为4k1k2+1=0，所以 +1=0，即y12y22= x12x22，

因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22=（1﹣ ）（1﹣ ）= x12x22，

整理得x12+x22=4，

所以y12+y22=1

所以OP2+OQ2=5．

（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=5，

综上：OP2+OQ2=5

所以OPOQ≤ （OP2+OQ2）=2.5，

所以OPOQ的最大值为2.5．

【解析】（1）椭圆C的右焦点是（ ，0），x= ，代入 +y2=1，可得y=± ，求出圆的圆心，然后求圆M的方程；（2）①因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1，k2是方程（1+k2）x2﹣（2x0+2ky0）x+x02+y02﹣ =0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2．结合点M（x0，y0）在椭圆C上，证明k1k2=﹣ ．②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），通过4k1k2+1=0，推出y12y22= x12x22，利用P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，推出OP2+OQ2=5，即可求出OPOQ的最大值．