Question

【题目】已知椭圆的左焦点为F，点，过M的直线与椭圆E交于A，B两点，线段AB中点为C，设椭圆E在A，B两点处的切线相交于点P，O为坐标原点．

（1）证明：O、C、P三点共线；

（2）已知是抛物线的弦，所在直线过该抛物线的准线与y轴的交点，是弦在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：在定直线上．你认为小明猜想合理吗？若合理，请写出所在直线方程；若不合理，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）合理，在直线上

【解析】

（1）设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用导数求得任一点处切线的斜率，从而解得切线方程，得到点的坐标，由即可容易判断；

（2）联立的方程和抛物线方程，利用导数求得处的切线方程，结合已知条件，即可容易证明.

（1）设，，直线AB的方程为．联立

，消去x整理得，

由﹐得或

，

由椭圆对称性，设是椭圆在x轴上方的任意一点，

则由，得﹐

所以在处的切线斜率为，

故在处切线方程为，

结合化简得

切线PA方程为：，同理，

联立两切线方程消去y得，

联立解得，

由AB中点及可得

，、C、P三点共线．

（2）合理，在直线上．

证明如下：设，，

直线斜率一定存在，

联立消去y得，

，

由得，．

抛物线在处的切线方程为，

同理在处的切线方程为

联立解得，

故在直线上．