Question

已知关于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0．
（Ⅰ）若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围．
（Ⅱ）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把问题转化为抛物线f（x）=x²+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（-1，0）和（1，2）内，解不等式组

f(0)=2m+1＜0 f(-1)=2＞0 f(1)=4m+2＜0 f(2)=6m+5＞0

求出m的取值范．
 （Ⅱ）若抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，则有

f(0)＞0 f(1)＞0 △≥0 0＜-m＜1.

，由此求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设f（x）=x²+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x²+2mx+2m+1与x轴的交点分别在
区间（-1，0）和（1，2）内，则

f(0)=2m+1＜0 f(-1)=2＞0 f(1)=4m+2＜0 f(2)=6m+5＞0

，可得

m＜- 1 2 m∈R m＜- 1 2 m＞- 5 6

．
解得-

5

6

＜m＜-

1

2

，
∴m 的取值范围为 (-

5

6

，-

1

2

)．
（Ⅱ）若抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，则有

f(0)＞0 f(1)＞0 △≥0 0＜-m＜1.

，即

m＞- 1 2 m＞- 1 2 m≥1+ 2 或m≤1- 2 -1＜m＜0

，解得-

1

2

＜m≤1-

2

，
故m的取值范围为 (-

1

2

，1-

2

]．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．