Question

【题目】已知函数 .

（Ⅰ）在区间上的极小值等于，求；

（Ⅱ）令， .曲线与交于， 两点，求证: 在中点处的切线斜率大于.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：（1）求出导函数，明确函数的极小值，从而得到值；（2）记，要证在中点处的切线斜率大于，即证，

只需证 .

试题解析：

（Ⅰ）因为,所以在区间上是单调递增函数.

因为， ，由题意: 在区间上的极小值,故

所以. 设为在区间上的极小值点,

故,所以.

设， ，则，

所以，即在上单调递减，易得出,故．

代入可得,满足,故．

（Ⅱ）,由题意有两解， ，不妨设.

，或（舍）.

要证在中点处的切线斜率大于，即证，

即证，只需证 .（*）

又， ，所以两式相减，并整理，

得 .把 代入（*）式，

得只需证，可化为.

令，得只需证.令（），

则 ，所以在其定义域上为增函数，

所以.

故在中点处的切线斜率大于.