Question

已知点P（2，0），及⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）当直线l₁过点P且与⊙C的圆心的距离为1时，求直线l₁的方程；
（2）设l₂：x+y-2=0交⊙C于A、B两点，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式即可求出直线l₁的方程；
（2）联立直线和圆的方程，利用根与系数之间的关系，求出圆心坐标以及圆的半径即可求出圆的方程．

解答： 解：（1）∵⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0，
∴圆的标准方程为（x-3）²+（y+2）²=9，
即圆心C（3，-2），半径r=3．
当直线l₁的斜率不存在是时，直线l₁的方程为x=2，此时过点P且与⊙C的圆心的距离d=1，满足条件．此时直线l₁的方程为x=2．
当直线l₁的斜率存在时，设斜率为k，
则此时直线方程为y-0=k（x-2），
即kx-y-2k=0，
则圆心C到直线kx--y-2k=0的距离d=

|3k+2-2k|

1+k2

=

|k+2|

1+k2

=1，
解得k=-

3

4

，此时直线方程为y=-

3

4

（x-2），
∴直线l₁的方程为y=-

3

4

（x-2）或x=2．
（2）由x+y-2=0得y=2-x代入（x-3）²+（y+2）²=9，
得x²-7x+8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=7，x₁x₂=8，
则

x1+x2

2

=

7

2

，即AB的中点的横坐标为

7

2

，纵坐标为y=2-

7

2

=-

3

2

．
|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+(x1-x2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2(49-4×8)

=

2×17

=

34

，
即线段AB为直径的圆的半径R=

|AB|

2

=

34

2

，
∴圆的标准方程为(x-

7

2

)2+(y+

3

2

)2=

17

2

．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，求直线的方程，求圆的方程，利用直线和圆的位置关系求出圆的半径和圆心是解决本题的关键．考查学生的计算能力．