Question

已知，正三棱柱ABCA₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．求证：AB₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：取BC中点O，连接AO．可证AO⊥平面BCC₁B₁，连接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分别为BC，CC₁的中点，可得AB₁⊥BD，又在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，BD∩A₁B=B，即可证明AB₁⊥平面A₁BD．

解答： 证明：如图，取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
连接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分别为BC，CC₁的中点，
∴B₁O⊥BD，
∴AB₁⊥BD．
又∵在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，BD∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，考查了转化思想，属于中档题．