Question

将一块长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的工艺品包装盒S-EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合（如图所示）

（1）求证：平面SEG⊥平面SFH
（2）试求原平面图形中AE的长，使得二面角E-SH-F的余弦值恰为

2

3

（3）指出二面角E-SH-F的余弦值的取值范围（不必说明理由）

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，从而EG⊥FH，EG⊥FH，EG⊥SO，由此能证明平面SEG⊥平面SFH．
（2）以O为原点，分别以OF，OG，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面SEH的一个法向量和平面SFH的一个法向量，由此能求出当原图形中AE=

5

2

时，二面角E-SH-F的余弦值恰为

2

3

．
（3）观察二面角E-SH-F的平面角的取值范围，能写二面角E-SH-F的余弦值的取值范围．

解答： 解：（1）证明：∵折后A，B，C，D重合于一点O，
∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG，∴EG⊥SO，
又∵SO、FH?平面SFH，SO∩FH=O，
∴EC⊥平面SFH，
又∵EG?平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．
（2）由（1）知EG⊥FH，EG⊥SC，同理，得HF⊥SO，
故以O为原点，分别以OF，OG，OS所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
设原平面图中，AE=t，
∴H（-1，0，0），E（0，-1，0），G（0，1，0），

HE

=（t，-t，0），

OG

=（0，t，0），
在原平面图形中，SE=

50-10t+t2

，
在Rt△SOE中，SE=

50-10t+t2

，
在Rt△SOE中，SO=

SE2-OE2

=

50-10t

，
∴S（0，0，

10(5-t)

），

SH

=（-t，0，-

10(5-t)

），
设平面SEH的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • SH =-tx- 10(5-t) z=0 n • HE =tx-ty=0

，取x=

10(5-t)

，得

n

=（

10(5-t)

，

10(5-t)

，-t），
∵EG⊥平面SFH，∴

OG

=（0，t，0）是平面SFH的一个法向量，
设二面角E-SH-F的大小为θ，
则cosθ=

n • OG

| n |•| OG |

=

10(5-t)

10-t

，
∵二面角E-SH-F的余弦值为

2

3

，
∴

10(5-t)

10-t

=

2

3

，解得t=

5

2

，或t=-5（舍），
∴当原图形中AE=

5

2

时，二面角E-SH-F的余弦值恰为

2

3

．
（3）二面角E-SH-F的余弦值的取值范围为（0，

2

2

）．

点评：本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．