Question

设P是椭圆

x2

4

+y²=1上任意一点，A是椭圆的左顶点，F₁，F₂分别是椭圆的左焦点和右焦点，则

PA

•

PF1

+

PA

•

PF2

的最大值为（　　）

• A、8
• B、16
• C、12
• D、20

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆

x2

4

+y²=1可得A（-2，0），F1(-

3

，0)，F₂(

3

，0)．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．可得

PA

•

PF1

+

PA

•

PF2

=6(cosθ+

2

3

)2-

2

3

，再利用余弦函数与二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：由椭圆

x2

4

+y²=1可得a=2，b=1，c=

a2-b2

=

3

．
∴A（-2，0），F1(-

3

，0)，F₂(

3

，0)．
设P（2cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））．
∴

PA

•

PF1

+

PA

•

PF2

=（-2-2cosθ，-sinθ）•[(-

3

-2cosθ，-sinθ)+(

3

-2cosθ，-sinθ)]
=（2+2cosθ）•4cosθ+2sin²θ
=6cos²θ+8cosθ+2
=6(cosθ+

2

3

)2-

2

3

，
当且仅当cosθ=1时取最大值16．
故选：B．

点评：本题考查了椭圆的参数方程及其性质、数量积运算、余弦函数的单调性与二次函数的单调性，属于中档题．