Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，∠CAB=

π

2

．
（Ⅰ）证明：BA₁⊥平面CAB₁；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=

5

，求三棱锥C₁-ABA₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（I）连接AB₁，根据ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB₁A₁，结合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB₁A₁，从而有AC⊥BA₁，再在正方形ABB₁A₁中得到AB₁⊥BA₁，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA₁⊥平面ACB₁，所以CB₁⊥BA₁；
（II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC=1，又因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1且AC⊥平面ABB₁A₁，得到A₁C₁是三棱锥C₁-ABA₁的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB₁A₁面积得到△ABA₁的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C₁-ABA₁的体积．

解答： （I）证明：连接AB₁，
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
又∵平面ABC∩平面ABB₁A₁=AB，AC⊥AB，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∵BA₁?平面ABB₁A₁，∴AC⊥BA₁，
∵矩形ABB₁A₁中，AB=AA₁，
∴四边形ABB₁A₁是正方形，
∴AB₁⊥BA₁，
又∵AB₁、CA是平面ACB₁内的相交直线，
∴BA₁⊥平面ACB₁；
（Ⅱ）解：∵AB=2，BC=

5

，
∴Rt△ABC中，AC=1
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1
又∵AC∥A₁C₁，AC⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁是三棱锥C₁-ABA₁的高．
∵△ABA₁的面积等于正方形ABB₁A₁面积的一半
∴S_△ABA1=

1

2

AB²=2
∴三棱锥C₁-ABA₁的体积为V=

1

3

×S_△ABA1×A₁C₁=

2

3

．

点评：本题根据底面为直角三角形的直三棱柱，证明线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的性质与判定和锥体体积公式等知识点，属于中档题．