Question

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，A（1，0）为定点，B为圆C上的动点，线段AB的垂直平分线交BC于点D，点D的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点p（0，2）作直线l交曲线E于M，N两点，设线段MN的中垂线交y轴于点Q（0，m），求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出动点D的轨迹是以点A（1，0）、C（-1，0）为焦点的椭圆，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）当l的斜率不存在时，线段MN的中垂线为x轴；当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2（k≠0），代入

x2

2

+y2=1，得：(

1

2

+k2)x2+4kx+3=0，由此能求出实数m的取值范围．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，∴BD|=|AD|．
又|BD|+|CD|=2

2

，|CD|+|AD|=2

2

＞2，
∴动点D的轨迹是以点A（1，0）、C（-1，0）为焦点的椭圆，
且椭圆的长轴长2a=2

2

，
焦距2c=2.a=

2

，c=1，b=1，
∴曲线E的方程为

x2

2

+y2=1．（6分）
（Ⅱ）①当l的斜率不存在时，线段MN的中垂线为x轴，m=0；（8分）
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，得：(

1

2

+k2)x2+4kx+3=0，
由△＞0得，k2＞

3

2

（10分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

-4k

1 2 +k2

，

x1+x2

2

=

-4k

1+2k2

，

y1+y2

2

=

kx1+2+kx2+2

2

=

2

2k2+1

，
∴线段MN的中点为（

-4k

1+2k2

，

2

2k2+1

），
中垂线方程为y-

2

2k2+1

=-

1

k

(x-

-4k

1+2k2

)，（12分）
令x=0，得y=

-2

2k2+1

=m，由k2＞

3

2

，得-

1

2

＜m＜0，
综上，实数m的取值范围是（-

1

2

，0]．（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意线段中垂直线定理的合理运用．