Question

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB，CE交⊙O于点G．
（Ⅰ）证明：AC²=AD•AE；
（Ⅱ）证明：FG∥AC．

Answer 1

考点：弦切角,与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（Ⅰ）由切割线定理得AB²=AD•AE，由此能证明AC²=AD•AE．
（Ⅱ）由△CAD∽△EAC，知∠ACD=∠AEC，由四边形DEGF是⊙O的内接四边形，得∠CFG=∠CED，由此能证明FG∥AC．

解答： （Ⅰ）证明：∵AB为⊙O的切线，ADE为⊙O的割线，
∴AB²=AD•AE，又AB=AC，∴AC²=AD•AE．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

AC

AD

=

AE

AC

，又∠DAC为公共角，
∴△CAD∽△EAC，∴∠ACD=∠AEC，
又四边形DEGF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFG=∠CED，
∴∠CFG=∠ACD，
∴FG∥AC．

点评：本题考查切割线定理的应用，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意四点共圆的合理运用．