Question

13．已知函数f（x），对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈[0，2）时，f（x）=2-x．则方程$f（x）=\frac{1}{n}x$在区间[0，2n）（其中n∈N^*）上所有根的和为n²．

Answer 1

分析 先根据问题的条件可以分析出：当x∈[2n-2，2n），f（x）=2n-x，再结合函数的图象得出x₁+x_n=$\frac{2n}{n+1}$+$\frac{2n^2}{n+1}$=2n（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{n}{n+1}$）=2n，从而可以求出所有根之和．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）成立，∴f（x）是一个以2为周期的函数，
当x∈[0，2）时，f（x）=2-x；
当x∈[2，4）时，f（x）=f（x-2）=2-（x-2）=4-x；
当x∈[4，6）时，f（x）=f（x-2）=4-（x-2）=6-x；
…
当x∈[2n-2，2n），f（x）=2n-x，
记g（x）=$\frac{1}{n}$x，由图可知，f（x）=g（x）在区间[2i-2，2i）（i=1，2，3，…，n）各有一解，
分别记为：x₁，x₂，x₃，…，x_n，下面考察x₁与x_n的数量关系，
令2-x=$\frac{1}{n}$x，解得x₁=$\frac{2n}{n+1}$；
再令2n-x=$\frac{1}{n}$x，解得x_n=$\frac{2n^2}{n+1}$，
所以，x₁+x_n=$\frac{2n}{n+1}$+$\frac{2n^2}{n+1}$=2n（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{n}{n+1}$）=2n，
同理，x₂+x_n-1=2n，x₃+x_n-2=2n，…，
因此，x₁+x₂+x₃+…+x_n=$\frac{n}{2}$•2n=n²，
故答案为：n²．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及函数的周期性，解析式，图象交点，以及方程根之间数量关系的分析与确立，体现了数形结合的解题思想，属于难题．