Question

7．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤4的解集为{x|-1≤x≤2}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使得f（n）≤t-f（-n）成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由绝对值不等式的解法可得a-2≤x≤2，由a-2=-1，可得a的值；
（2）由题意可得f（n）+f（-n）的最小值不小于t，运用去绝对值方法，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到t的范围．

解答 解：（1）由|2x-a|+a≤4，
得|2x-a|≤4-a，
∴a-4≤2x-a≤4-a，
即a-2≤x≤2，
∴a-2=-1，∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1．
令φ（n）=f（n）+f（-n），
则φ（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=$\left\{\begin{array}{l}{2-4n，n≤-\frac{1}{2}}\\{4，-\frac{1}{2}＜n≤\frac{1}{2}}\\{2+4n，n＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当n≤-$\frac{1}{2}$时，φ（n）≥2-（-2）=4；
当n＞$\frac{1}{2}$时，φ（n）＞4．
∴φ（n）的最小值为4，
故实数t的取值范围是[4，+∞）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．