Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（0＜a＜

5

，0＜b＜2）与椭圆C₂：

x2

5

+

y2

4

=1有相同的焦点．直线L：y=k（x+1）与两个椭圆的四个交点，自上而下顺次记为A、B、C、D．
（Ⅰ）求线段BC的长（用k和a表示）；
（Ⅱ）是否存在这样的直线L，使线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列．请说明详细的理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）联立

y=k(x+1) b2x2+a2x2+a2y2=a2b2

，得（k²a²+b²）x²+2k²a²x²+k²a²-a²b²=0，由此能求出线段BC的长．
（Ⅱ）由（I）知，AD=

8 5 (k2+1)

5k2+4

，线段AB、BC、CD构成一个等差数列，得2BC=AB+CD，故3BC=AD，由此能求出存在这样的直线L，使线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列．

解答： 解：（Ⅰ）联立

y=k(x+1) b2x2+a2x2+a2y2=a2b2

，
得（k²a²+b²）x²+2k²a²x²+k²a²-a²b²=0
所以BC=

2ab2(k2+1)

k2a2+b2

=

2a(a2-1)(k2+1)

k2a2+a2-1

．
（Ⅱ）由（I）知，AD=

8 5 (k2+1)

5k2+4

，
线段AB、BC、CD构成一个等差数列，
可得2BC=AB+CD，故3BC=AD，
3•

2a(a2-1)(k2+1)

k2a2+a2-1

=

8 5 (k2+1)

5k2+4

，
k2=

4(a2-1)(3a- 5 )

a(15a2-4 5 a-15)

=

4(a2-1)(3a- 5 )

a(3a+ 5 )(5a-3 5 )

≥0，
即：

3a- 5

5a-3 5

≥0．
由于a＞1，故

3 5

5

＜a＜

5

．
所以，当

3 5

5

＜a＜

5

时，
存在这样的直线L，使线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列．

点评：本题考查线段长的求法，考查满足条件的线段是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．