Question

甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为η．
（1）分别求ξ与η的期望；
（2）规定：若ξ＞η，则甲获胜；若ξ＜η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率．

Answer 1

考点：互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）依题意，ξ～B( 3 ， 

1

2

 )，η～B( 2 ， 

1

2

 )，由此能求出ξ与η的期望．
（2）甲获胜的情况有：ξ=1，η=0；ξ=2，η=0，1；ξ=3，η=0，1，2；乙获胜的情况有：η=1，ξ=0；η=2，ξ=0，1，由此能求出甲和乙获胜的概率．

解答： （本题满分12分）
解：（1）依题意，ξ～B( 3 ， 

1

2

 )，η～B( 2 ， 

1

2

 )，
所以E(ξ)=3×

1

2

 =

3

2

，E(η)=2×

1

2

 =1．…（4分）
（2）由（1）知：
P(ξ=0)=

C

0 3

(

1

2

)3 =

1

8

，
P(ξ=1)=

C

1 3

(

1

2

)1(

1

2

)2 =

3

8

，
P(ξ=2)=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)1 =

3

8

，
P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

2

)3 =

1

8

，
P(η=0)=

C

0 2

(

1

2

)2 =

1

4

，
P(η=1)=

C

1 2

(

1

2

)1(

1

2

)1 =

1

2

，
P(η=2)=

C

2 2

(

1

2

)2 =

1

4

…（8分）
甲获胜的情况有：ξ=1，η=0；ξ=2，η=0，1；ξ=3，η=0，1，2，
∴P(甲获胜)=

3

8

 ×

1

4

+

3

8

 ×(

1

4

+

1

2

)+

1

8

 ×(

1

4

+

1

2

+

1

4

)=

1

2

，
乙获胜的情况有：η=1，ξ=0；η=2，ξ=0，1，
∴P(乙获胜)=

1

2

 ×

1

8

+

1

4

 ×(

1

8

+

3

8

)=

3

16

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要注意二项分布的合理运用．