Question

已知：三条抛物线y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b（a，b，c是不为0，且互不相等的不实数），证明此三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：假设这三条抛物线没有一条与x轴有两个交点，则它们的判别式都小于或等于零，求得（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0 ①．由a，b，c是不为0，且互不相等的不实数，可得 （a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，这与①相矛盾，故假设不成立，原命题得证．

解答： 证明：用反证法，假设这三条抛物线没有一条与x轴有两个交点，则它们的判别式都小于或等于零，
即 4b²-4ac≤0，且 4c²-4ab≤0，且4a²-4bc≤0，
所以，（4b²-4ac）+（4c²-4ab）+（4a²-4bc）≤0，
即 2（a²+b²+c²）-2ab-2bc-2ac≤0，即 （a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0 ①．
因为a，b，c是不为0，且互不相等的不实数，
所以，（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，这与①相矛盾，故假设不成立，
所以原命题成立．

点评：本题主要考查二次函数的性质，用反证法证明数学命题，属于基础题．