Question

已知函数f（x）=x³+（a+1）x²+ax-2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为

7

11

．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k-1）e^x+2x-2有唯一公共点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切点，再由点斜式方程写出切线方程，令y=0，得到方程，解得a=2；
（Ⅱ）由题意要证：当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k-1）e^x+2x-2有唯一公共点，即要证x³+3x²+
（1-k）•e^x=0在k＜1时有唯一解．设g（x）=x³+3x²+（1-k）•e^x，讨论①当x≥-3时，②当x＜-3时，求出导数，判断单调性，得到g（x）=x³+3x²+（1-k）•e^x＜x³+3x²+1-k，则h（x）=h（k-4）=（k-4）³+3（k-4）²+1-k，
即h（k-4）＜0，即存在x=k-4，使得g（x）＜h（x）＜0，故存在x₀∈（k-4，-3），有g（x₀）=0，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）=x³+（a+1）x²+ax-2的导数f′（x）=3x²+2（a+1）x+a，
即有f′（1）=3a+5，切线斜率为3a+5，
f（1）=2a，切点为（1，2a），
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-2a=（3a+5）（x-1）．
令y=0则x=

a+5

3a+5

，由

a+5

3a+5

=

7

11

，解得a=2；
（Ⅱ）证明：由题意要证：当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k-1）e^x+2x-2有唯一公共点，
即要证x³+3x²+（1-k）•e^x=0在k＜1时有唯一解．
设g（x）=x³+3x²+（1-k）•e^x，
由于1-k＞0，则g（x）＞x³+3x²=x²（x+3），
①当x≥-3时，g（x）＞x²（x+3）≥0，则g（x）在x≥-3时无零点；
②当x＜-3时，g′（x）=3x²+6x+（1-k）•e^x＞3x²+6x=3x（x+2）＞0，
则g（x）在x＜-3时单调递增．而g（-3）=（1-k）•e^-3＞0，
由于e^x＜e^-3，则（1-k）•e^x＜（1-k）•e^-3，
g（x）=x³+3x²+（1-k）•e^x＜x³+3x²+

1-k

e3

＜x³+3x²+1-k，
设h（x）=x³+3x²+1-k，由于k-1＜0，取x=k-4＜-3，
则h（x）=h（k-4）=（k-4）³+3（k-4）²+1-k，
即h（k-4）=（k-4）²[（k-4）+3]+1-k=（k-1）[（k-4）²-1]＜0，
即存在x=k-4，使得g（x）＜h（x）＜0，
故存在x₀∈（k-4，-3），有g（x₀）=0，
综上，当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k-1）e^x+2x-2有唯一公共点．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，判断函数的单调性，以及运用求最值，考查函数的性质和运用，以及构造导数，运用单调性求解的能力，考查运算能力，属于中档题．