Question

在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，顶点S在底面内的射影O在正方形ABCD的内部（不在边上），且SO=λa，λ为常数，设侧面SAB，SBC，SCD，SDA与底面ABCD所成的二面角依次为α₁，α₂，α₃，α₄，则下列各式为常数的是（　　）
①

1

tanα1

+

1

tanα2

②

1

tanα1

+

1

tanα3

③

1

tanα2

+

1

tanα3

④

1

tanα2

+

1

tanα4

．

• A、①②
• B、②④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：过O点作MN⊥BC，根据二面角的定义易得∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，根据余切函数的定义及SO=λa，λ为常数，易得到答案．

解答： 解：过O点作MN⊥BC，则BC⊥AD，
则OM，ON分别为BM，BN在底面ABCD上的射影
则∠SMO即为侧面SBC与底面ABCD所成的二面角，
∠SNO即为侧面SDA与底面ABCD所成的二面角，
∴∠SMO=α₁，∠SNO=α₃，
故

1

tanα1

=

OM

OS

，

1

tanα3

=

ON

OS

，
则

1

tanα1

+

1

tanα2

=

OM

OS

+

ON

OS

=

MN

OS

=

a

λa

=

1

λ

为定值
同理可得

1

tanα2

+

1

tanα4

为定值
故选：B．

点评：本题以正切函数的定义为载体考查了二面角的定义，其中根据二面角的定义求出二面角的平面角是解答的关键．