Question

12．设函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），有以下结论：
①函数f（x）的最小正周期是π；     ②函数f（x）在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上单调递增；
③函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
④点（-$\frac{5}{12}$π，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；
⑤将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，对应的函数是偶函数．
其中所有正确结论的序号是①②④⑤．

Answer 1

分析 ①根据周期公式求解即可；函数f（x）的最小正周期是π；    
 ②根据余弦函数的单调性判断即可；
③求出2x+$\frac{π}{3}$的区间[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，利用余弦函数图象求出值域即可；函数f（x）在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
④根据余弦函数的对称中心在x轴上判断即可；
⑤根据函数图象的平移，得出函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到函数cos2x，是偶函数．

解答 解：①函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，故正确；    
 ②x在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上，
∴2x+$\frac{π}{3}$在区间[π，2π]单调递增，故正确；
③x在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上，
∴2x+$\frac{π}{3}$在区间[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]的值域为[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，故错误；
④f（-$\frac{5}{12}$π）=0，故是函数f（x）图象的一个对称中心，故正确；
⑤将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到函数cos2x，显然函数是偶函数，故正确．
故答案为①②④⑤．

点评 考查了三角函数的周期性，单调性，对称中心和图象的平移的解题方法，属于基础题型，应熟练掌握．