Question

19．已知函数f（x）=ax-lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）＞1，在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a＞$\frac{1+lnx}{x}$在区间（1，+∞）恒成立，设g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
①a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减；
②a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增；
（2）由f（x）＞1，得ax-lnx-1＞0，
即a＞$\frac{1+lnx}{x}$在区间（1，+∞）恒成立，
设g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，则g′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∵x＞1，∴g′（x）＜0，
故g（x）在（1，+∞）递减，
即$\frac{1+lnx}{x}$＜1在区间（1，+∞）恒成立，
故a≥1．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，是一道中档题．