Question

设实数x、y满足

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则

2

a

+

3

b

的最小值为（　　）

Answer 1

分析：作出满足约束条件的平面区域图，利用目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，得到4a+6b=2，利用“1”的代换，结合基本不等式可得

2

a

+

3

b

的最小值．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线4x-y-10=0与直线x-2y+8=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大2，
∴4a+6b=2，即2a+3b=1，
∴

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）（2a+3b）=13+6（

b

a

+

a

b

）≥13+12

b a • a b

=25，
当且仅当a=b=

1

5

时取等号，
∴

2

a

+

3

b

的最小值为25．
故选D．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．