Question

已知定义在实数集R上的函数y=f（x）满足条件：对于任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）若x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在[-2，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．
（2）令y=-x，结合（1）的结论，可得f（x）是奇函数；
（3）可由定义法证明函数在[-2，1]上单调增，进而可得函数的值域．

解答：（1）解：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0
（2）证明：令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），即f（-x）=-f（x）
故f（x）为奇函数；
（3）解：任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，故 f（x₂-x₁）＞0
又有题设知 f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
所以该函数f（x₂）＞f（x₁）
所以该函数f（x）为（-∞，+∞）单调增函数
所以函数f（x）在[-2，1]上单调增
因为f（-1）=-2，所以f（-2）=f（-1）+f（-1）=-4，f（1）=-f（-1）=2
所以f（x）在[-2，1]上的值域为[-4，2]．

点评：本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查函数的单调性，考查函数的值域，正确赋值是关键．